2 Scelta a priori del numero di sottointervalli
Le formule di errore delle regole composite permettono di dimensionare la discretizzazione prima di calcolare l’integrale: fissata una tolleranza \mathrm{tol}, si cerca il più piccolo N per cui la maggiorazione teorica non la supera. Le formule usate qui, con L=b-a e H=L/N, sono
N_T=\left\lceil\sqrt{\frac{L^3M_2}{12\,\mathrm{tol}}}\right\rceil, \qquad N_S=\left\lceil\left(\frac{L^5M_4}{2880\,\mathrm{tol}}\right)^{1/4}\right\rceil,
e sono ricavate nelle note del corso, dove si trova anche un esercizio che confronta fra loro trapezi, Simpson e Gauss-Legendre.
2.1 Esercizio 1 — Trapezi compositi per una funzione esponenziale
Stimare il minimo numero di sottointervalli uguali per approssimare
I=\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x,\qquad \mathrm{tol}=10^{-3},
con la regola dei trapezi composita. Poiché f''(x)=e^x, possiamo prendere M_2=e e L=1. Segue
N\geq\sqrt{\frac{e}{12\cdot10^{-3}}}\simeq15.051, \qquad\boxed{N_T=16},\qquad H=\frac1{16}.
La maggiorazione verificabile a priori è |E_T|\leq e/(12\cdot16^2)\simeq8.85\cdot10^{-4}<\mathrm{tol}.
2.2 Esercizio 2 — Simpson composito per una funzione trigonometrica
Stimare il minimo numero di intervalli di Simpson per
I=\int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x,\qquad\mathrm{tol}=10^{-6}.
Dato che f^{(4)}(x)=\sin x, risulta M_4=1 e L=\pi. Quindi
N\geq\left(\frac{\pi^5}{2880\cdot10^{-6}}\right)^{1/4} \simeq18.055,\qquad\boxed{N_S=19}.
Occorrono dunque 19 intervalli, ossia 38 sottointervalli di lunghezza h=\pi/38, con 39 nodi distinti. La stima fornisce |E_S|\leq\pi^5/(2880\cdot19^4)<10^{-6}.
2.3 Esercizio 3 — Trapezi compositi per una funzione razionale
Determinare il numero di sottointervalli per
I=\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x, \qquad\mathrm{tol}=5\cdot10^{-4}.
Si calcola
f''(x)=\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}.
Su [-1,1] vale |f''(x)|\leq2 (il massimo è raggiunto in x=0), dunque M_2=2 e L=2. Ne segue
N\geq\sqrt{\frac{2^3\cdot2}{12\cdot5\cdot10^{-4}}} \simeq51.640,\qquad\boxed{N_T=52},\qquad H=\frac2{52}.
In particolare |E_T|\leq16/(12\cdot52^2)<5\cdot10^{-4}.
2.4 Esercizio 4 — Simpson composito per un polinomio
Determinare il numero di intervalli di Simpson per
I=\int_0^2x^4\,\mathrm{d}x,\qquad\mathrm{tol}=10^{-5}.
La derivata quarta è costante: f^{(4)}(x)=24, quindi M_4=24 e L=2. Otteniamo
N\geq\left(\frac{2^5\cdot24}{2880\cdot10^{-5}}\right)^{1/4} \simeq12.779,\qquad\boxed{N_S=13}.
Sono necessari 13 intervalli (26 sottointervalli, 27 nodi). La stima garantisce |E_S|\leq768/(2880\cdot13^4)<10^{-5}. Poiché la derivata quarta è costante, in questo esempio la formula dell’errore di Simpson è anche esatta in valore assoluto.