1 I numeri complessi
1.1 Operazioni di somma e prodotto su \Bbb{R}^2
Consideriamo l’insieme \Bbb{R}^2 di tutte le coppie ordinate di numeri reali:
\Bbb{R}^2 = \{(a, b) \mid a, b \in \Bbb{R}\}
Due coppie ordinate (a, b) e (c, d) sono uguali se e solo se:
(a, b) = (c, d) \quad \Leftrightarrow \quad a = c \text{ e } b = d
Definiamo su \Bbb{R}^2 due operazioni:
Somma: Dati due elementi (a, b) e (c, d) di \Bbb{R}^2, la loro somma è l’elemento (a+c, b+d) di \Bbb{R}^2 definito da: (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) \tag{1.1}
Prodotto: Dati due elementi (a, b) e (c, d) di \Bbb{R}^2, il loro prodotto è l’elemento (ac-bd, ad+bc) di \Bbb{R}^2 definito da: (a, b) \cdot (c, d) = (ac-bd, ad+bc) \tag{1.2}
Osservazioni:
Le operazioni di somma e prodotto definite su \Bbb{R}^2 estendono le usuali operazioni di somma e prodotto tra numeri reali, identificando un numero reale a con l’elemento (a, 0) di \Bbb{R}^2.
Con queste operazioni, l’insieme \Bbb{R}^2 forma un campo, noto come campo dei numeri complessi.
dove le operazioni di somma e di prodotto nei secondi membri delle equazioni Equation 1.1 e Equation 1.2 sono le operazioni standard definite nel campo dei numeri reali \Bbb{R}.
2 Il campo dei numeri complessi
Poiché l’insieme
\Bbb{R}^\prime = \{ (a,0) \quad\vert\quad a \in \Bbb{R} \}
è contenuto in \Bbb{R}^2, ed è facilmente identificabile (mediante una corrispondenza biunivoca) con \Bbb{R}, è ragionevole e utile scrivere semplicemente a al posto di (a,0) per ogni coppia di \Bbb{R}^\prime. Definiamo inoltre l’unità immaginaria \mathrm{i} come:
\mathrm{i} \equiv (0,1),
e possiamo quindi esprimere ogni coppia (a,b) \in \Bbb{R}^2 nella forma:
(a,b) = (a,0) + (0,b) = a + (0,b) \cdot (1,0) = a + (b,0) \cdot (0,1) = a + \mathrm{i} b.
Con questa notazione, osserviamo che \mathrm{i} soddisfa la relazione:
\mathrm{i}^2 = -1.
Possiamo ora definire l’insieme dei numeri complessi.
Definizione (Numeri complessi)
L’insieme dei numeri complessi, denotato con \Bbb{C}, è costituito dalle coppie di numeri reali su cui sono state introdotte le operazioni di somma e prodotto definite in Equation 1.1 e Equation 1.2:
\Bbb{C} = \left( \Bbb{R}^2, +, \cdot \right).
La notazione comunemente utilizzata per un numero complesso z \in \Bbb{C} è:
z = a + \mathrm{i} b, \qquad \text{con} \qquad a, b \in \Bbb{R},
dove
a = \text{Re}\{z\} \quad \text{è chiamato la parte reale di } z,
e
b = \text{Im}\{z\} \quad \text{è chiamato la parte immaginaria di } z.
Notiamo che \Bbb{R} \subset \Bbb{C}, poiché ogni numero reale a può essere scritto come a = a + \mathrm{i} \cdot 0. Inoltre, il prodotto di due numeri complessi z_1 = a + \mathrm{i} b e z_2 = c + \mathrm{i} d segue le normali regole di moltiplicazione polinomiale. Infatti, il prodotto z_1 \cdot z_2 può essere svolto sia in forma algebrica:
(a + \mathrm{i} b) \cdot (c + \mathrm{i} d) = ac + \mathrm{i} ad + \mathrm{i} bc + \mathrm{i}^2 bd = ac - bd + \mathrm{i}(ad + bc),
sia utilizzando la definizione di prodotto in \Bbb{R}^2, ottenendo lo stesso risultato.
Le proprietà delle operazioni di somma e prodotto introdotte in \Bbb{C} dimostrano che \Bbb{C} è un anello commutativo con identità moltiplicativa.
Ci proponiamo ora di dimostrare che \Bbb{C} è anche un campo, ovvero che ogni numero complesso diverso dallo zero ammette un inverso moltiplicativo. A tale scopo, introduciamo le nozioni di coniugato e di modulo di un numero complesso.
Definizione
Sia z = a + \mathrm{i} b. Definiamo il coniugato di z come il numero complesso \overline{z} = a - \mathrm{i} b.
2.1 Proprietà dell’operazione di coniugazione
Sia z = a + \mathrm{i} b \in \Bbb{C}. Valgono le seguenti proprietà:
z + \overline{z} = 2a, da cui segue \Re\left\{z\right\} = \dfrac{z + \overline{z}}{2}
z - \overline{z} = 2\mathrm{i} b, da cui segue \Im\left\{z\right\} = \dfrac{z - \overline{z}}{2\mathrm{i}}
\overline{\left(\overline{z}\right)} = z
\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}
\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}
z = \overline{z} \quad \Longleftrightarrow \quad z \in \Bbb{R}
z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 è un numero reale non negativo.
Per la proprietà 7, introduciamo la seguente definizione:
Definizione di modulo
Il modulo di un numero complesso z è definito come:
|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}.
2.2 Proprietà del modulo
Sia z = a + \mathrm{i} b \in \Bbb{C}. Le seguenti proprietà sono vere:
Modulo del coniugato: |z| = |\overline{z}|.
Non negatività: |z| \text{ è un numero reale non negativo e} |z| = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 + b^2 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad a = b = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad z = 0.
Proprietà moltiplicativa: |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|.
Disuguaglianza triangolare: |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|.
Interpretazione geometrica della disuguaglianza triangolare
I numeri complessi possono essere rappresentati graficamente come punti nel piano cartesiano. Per esempio, il numero z = a + \mathrm{i} b è rappresentato dal punto con coordinate (a, b). L’origine (0, 0) rappresenta il numero complesso 0, il punto (1, 0) rappresenta il numero complesso 1 = 1 + 0\mathrm{i}, e il punto (0, 1) rappresenta il numero complesso i = 0 + 1\mathrm{i}.
Nel piano complesso:
- I punti sull’asse x corrispondono ai numeri reali (x, 0) \equiv x + 0\mathrm{i}, e quest’asse è chiamato asse reale.
- I punti sull’asse y corrispondono ai numeri immaginari puri (0, y) \equiv 0 + y\mathrm{i}, e quest’asse è chiamato asse immaginario.
Questa rappresentazione grafica aiuta a visualizzare la disuguaglianza triangolare nel contesto del piano complesso.
Geometricamente, la disuguaglianza triangolare riflette il fatto che in un triangolo la lunghezza di ogni lato è sempre minore o uguale alla somma delle lunghezze degli altri due lati (vedi figura Figure 2.2).
Dalla proprietà 2 del modulo, segue che per ogni numero complesso z \neq 0, è ben definito il numero 1/|z|. Inoltre, è semplice verificare che l’inverso di z è dato da:
z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}.
Riferendoci all’ultimo esempio, notiamo che l’inverso di un numero reale, considerato come un elemento di \Bbb{C}, coincide con quello calcolato abitualmente in \Bbb{R}. Pertanto, la definizione di inverso in \Bbb{C} si estende naturalmente a quella di \Bbb{R}.
Problema
Ora ci proponiamo di risolvere i seguenti problemi:
- Calcolare 1 + \mathrm{i}^{2000}.
- Trovare le soluzioni in \Bbb{C} dell’equazione z^n = w, con w \in \Bbb{C} fissato.
Per affrontare questi problemi, è utile introdurre la rappresentazione trigonometrica di un numero complesso.
2.3 Forma polare dei numeri complessi
Sia z un numero complesso scritto nella forma algebrica z = a + \mathrm{i} b con a, b \in \Bbb{R}. Definiamo \rho come il modulo di z e \theta come l’angolo che il segmento dall’origine al punto (a, b) forma con l’asse x. Questi valori \rho e \theta sono chiamati coordinate polari:
\rho = |z| \quad \text{(modulo di } z)
\theta = \mathrm{arg}(z) \quad \text{(argomento di } z)
Utilizzando le proprietà dei triangoli rettangoli, otteniamo:
a = \rho \cos \theta \quad \text{e} \quad b = \rho \sin \theta
o, equivalente:
\rho = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
Da ciò segue la rappresentazione polare di z:
z = a + \mathrm{i} b = \rho \cos \theta + \mathrm{i} \rho \sin \theta = \rho \left(\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta\right)
Questa rappresentazione è illustrata nella figura Figure 2.3.
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Osservazione
È importante notare che l’argomento di z è definito a meno di multipli interi di 2\pi. In altre parole, variare l’angolo \theta di 2\pi non modifica l’argomento di z. Mantenendo costante \rho e incrementando \theta di 2\pi, si ottiene lo stesso numero complesso, poiché si completa un giro attorno alla circonferenza di centro (0,0) e raggio \rho, tornando così al punto di partenza.
Inoltre, dato che le funzioni \sin\theta e \cos\theta sono 2\pi-periodiche, si ha che:
z = \rho\left(\cos\theta + \mathrm{i} \sin\theta\right) = \rho\left(\cos(\theta + 2k\pi) + \mathrm{i} \sin(\theta + 2k\pi)\right), \quad k \in \Bbb{Z}.
Osservazione
Consideriamo le espansioni in serie di Taylor per le funzioni \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}, \cos \theta, e \sin \theta. Abbiamo:
\begin{aligned} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} &= 1 + \mathrm{i} \theta + \frac{(\mathrm{i} \theta)^2}{2!} + \frac{(\mathrm{i} \theta)^3}{3!} + \frac{(\mathrm{i} \theta)^4}{4!} + \frac{(\mathrm{i} \theta)^5}{5!} + \cdots \\ &= 1 + \mathrm{i} \theta - \frac{\theta^2}{2!} - \mathrm{i} \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \mathrm{i} \frac{\theta^5}{5!} + \cdots \\ &\quad + (-1)^k \frac{\theta^{2k}}{(2k)!} + \mathrm{i} (-1)^k \frac{\theta^{2k+1}}{(2k+1)!} + \cdots \\ &= \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots + (-1)^k \frac{\theta^{2k}}{(2k)!} + \cdots \right) \\ &\quad + \mathrm{i} \left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots + (-1)^k \frac{\theta^{2k+1}}{(2k+1)!} + \cdots \right) \\ &= \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta. \end{aligned}
Pertanto, il numero complesso \rho \left(\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta\right) può essere scritto come:
\rho \left(\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta \right) = \rho \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}.
2.4 Prodotto di numeri complessi in forma polare
Per il prodotto di numeri complessi espressi in forma polare, la seguente proposizione è particolarmente utile e semplifica il calcolo delle potenze.
Proposizione
Il modulo del prodotto di due numeri complessi è uguale al prodotto dei loro moduli, mentre l’argomento del prodotto è uguale alla somma degli argomenti dei due numeri complessi.
Siano z_1 e z_2 due numeri complessi. Allora si ha:
|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|
e
\mathrm{arg}(z_1 \cdot z_2) = \mathrm{arg}(z_1) + \mathrm{arg}(z_2).
Dimostrazione
Consideriamo i numeri complessi z_1 e z_2 espressi nella loro forma trigonometrica:
z_1 = \rho (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta), \qquad z_2 = \sigma (\cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha).
Il prodotto z_1 \cdot z_2 si calcola come segue:
\begin{aligned} z_1 \cdot z_2 &= \rho \sigma (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta) (\cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha) \\ &= \rho \sigma \left[ (\cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha) + \mathrm{i} (\cos \alpha \sin \theta + \sin \alpha \cos \theta) \right] \\ &= \rho \sigma \left[ \cos (\theta + \alpha) + \mathrm{i} \sin (\theta + \alpha) \right]. \end{aligned}
Nel passo finale abbiamo utilizzato le identità trigonometriche che esprimono il seno e il coseno della somma di due angoli in funzione dei seni e dei coseni dei singoli angoli.
Osservazione
Assumendo valide le proprietà della funzione esponenziale anche nel campo complesso, possiamo derivare la proposizione in modo più diretto. Consideriamo i numeri complessi in forma esponenziale:
z_1 = \rho e^{\mathrm{i}\theta}, \qquad z_2 = \sigma e^{\mathrm{i}\alpha}.
Il prodotto di z_1 e z_2 è:
z_1 \cdot z_2 = \rho e^{\mathrm{i}\theta} \cdot \sigma e^{\mathrm{i}\alpha} = \rho \sigma e^{\mathrm{i}(\theta + \alpha)}.
Quindi, il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli e l’argomento è la somma degli argomenti, come affermato nella proposizione precedente.
Questa proposizione può essere estesa anche al calcolo del rapporto tra due numeri complessi, come descritto nel seguente corollario.
Corollario
Sia w = \frac{z_1}{z_2} \in \Bbb{C}. Allora:
|w| = \frac{|z_1|}{|z_2|}
e
\mathrm{arg}(w) = \mathrm{arg}(z_1) - \mathrm{arg}(z_2).
Dimostrazione
Scriviamo w come il prodotto di z_1 e l’inverso di z_2:
w = z_1 \cdot \frac{1}{z_2} = z_1 \cdot \frac{\overline{z_2}}{|z_2|^2}.
Applicando la proposizione precedente, otteniamo:
\begin{aligned} |w| &= \left| z_1 \cdot \frac{\overline{z_2}}{|z_2|^2} \right| \\ &= |z_1| \cdot \left| \frac{\overline{z_2}}{|z_2|^2} \right| \\ &= |z_1| \cdot \frac{|\overline{z_2}|}{|z_2|^2} \\ &= |z_1| \cdot \frac{|z_2|}{|z_2|^2} \\ &= \frac{|z_1|}{|z_2|}. \end{aligned}
Per quanto riguarda l’argomento, abbiamo:
\mathrm{arg}(w) = \mathrm{arg} \left(z_1 \cdot \frac{\overline{z_2}}{|z_2|^2} \right) = \mathrm{arg}(z_1) + \mathrm{arg} \left(\frac{\overline{z_2}}{|z_2|^2}\right).
Notiamo che l’argomento di un numero complesso moltiplicato per un numero reale non cambia, quindi:
\mathrm{arg} \left(\frac{\overline{z_2}}{|z_2|^2}\right) = \mathrm{arg} (\overline{z_2}).
Dato che l’argomento di un numero complesso e del suo coniugato sono opposti:
\mathrm{arg} (\overline{z_2}) = -\mathrm{arg}(z_2),
segue che:
\mathrm{arg}(w) = \mathrm{arg}(z_1) - \mathrm{arg}(z_2).
Negli ultimi passaggi abbiamo tenuto conto del fatto che l’argomento di un numero complesso non varia se tale numero complesso viene moltiplicato per un qualsiasi numero reale, cioè
\mathrm{arg}\left(\alpha z\right)=\mathrm{arg}\left(z\right)\qquad\forall z\in\Bbb{C}\quad\textrm{e}\quad \forall \alpha\in\Bbb{R}
e del fatto che
\mathrm{arg}\left(\overline{z}\right) =-\mathrm{arg}\left(z\right)\qquad\forall z\in\Bbb{C}.
Tali verifiche sono lasciate per esercizio.
2.5 Formula di de Moivre
Proposizione
Sia \theta \in \Bbb{R} e n \in \Bbb{N}. Allora:
\left(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta\right)^n = \cos(n\theta) + \mathrm{i}\sin(n\theta).
Dimostrazione
Consideriamo il numero complesso z = \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta. Abbiamo che |z| = 1. Utilizzando le regole della moltiplicazione in forma polare, possiamo calcolare le potenze di z.
Per n = 2:
z^2 = (\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta) \cdot (\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta + \mathrm{i}(2 \cos\theta \sin\theta) = \cos(2\theta) + \mathrm{i}\sin(2\theta).
Assumendo che la formula sia vera per n, cioè:
z^n = \cos(n\theta) + \mathrm{i}\sin(n\theta),
dobbiamo dimostrare che è vera anche per n+1. Consideriamo:
z^{n+1} = z^n \cdot z = \left(\cos(n\theta) + \mathrm{i}\sin(n\theta)\right) \cdot \left(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta\right).
Utilizzando la formula per il prodotto di numeri complessi in forma trigonometrica, otteniamo:
z^{n+1} = \cos(n\theta)\cos\theta - \sin(n\theta)\sin\theta + \mathrm{i}(\cos(n\theta)\sin\theta + \sin(n\theta)\cos\theta).
Semplificando, otteniamo:
z^{n+1} = \cos((n+1)\theta) + \mathrm{i}\sin((n+1)\theta).
Quindi, per induzione, la formula è vera per ogni n \in \Bbb{N}.
Osservazione
Assumendo valide le proprietà della funzione esponenziale per l’elevamento a potenza anche nel campo complesso, la proposizione può essere ottenuta in modo più semplice. Se z = e^{\mathrm{i}\theta}, allora:
z^n = (e^{\mathrm{i}\theta})^n = e^{\mathrm{i} n\theta}.
Esempio di calcolo
Calcoliamo (1 + \mathrm{i})^{2000} utilizzando la formula di de Moivre. Prima, esprimiamo 1 + \mathrm{i} nella sua forma trigonometrica:
1 + \mathrm{i} = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + \mathrm{i} \sin \frac{\pi}{4} \right).
Applicando la formula di de Moivre:
\begin{aligned} (1 + \mathrm{i})^{2000} &= \left[ \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + \mathrm{i} \sin \frac{\pi}{4} \right) \right]^{2000} \\ &= \left( \sqrt{2} \right)^{2000} \left( \cos \left( 2000 \cdot \frac{\pi}{4} \right) + \mathrm{i} \sin \left( 2000 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \right) \\ &= \left( \sqrt{2} \right)^{2000} \left( \cos \left( 500 \pi \right) + \mathrm{i} \sin \left( 500 \pi \right) \right) \\ &= 2^{1000} \left( \cos 0 + \mathrm{i} \sin 0 \right) \\ &= 2^{1000}. \end{aligned}