15  Peso di Jacobi e famiglie classiche

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Enrico Bertolazzi

University of Trento, Department of Industrial Engineering

15.1 Il peso di Jacobi

Definizione e condizione sui parametri

La nozione di ortogonalità non richiede che la funzione peso sia costante. Per \alpha,\beta>-1 poniamo

w_{\alpha,\beta}(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta,\qquad -1<x<1.

La condizione che entrambi gli esponenti siano maggiori di -1 garantisce l’integrabilità delle singolarità agli estremi. I polinomi di Jacobi¹ P_n^{(\alpha,\beta)} sono ortogonali per questo peso e adottano la normalizzazione convenzionale P_n^{(\alpha,\beta)}(1)={n+\alpha\choose n}. La formula di Rodrigues è

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{(-1)^n}{2^n n!} (1-x)^{-\alpha}(1+x)^{-\beta} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n} \left[(1-x)^{n+\alpha}(1+x)^{n+\beta}\right].

Mediante n integrazioni per parti si dimostra l’ortogonalità rispetto a ogni polinomio di grado minore di n.

La funzione Gamma

Per scrivere la norma serve una funzione che, con \alpha,\beta non interi, prende il posto del fattoriale.

Definizione 15.1 (Funzione Gamma) La funzione Gamma di Eulero² è definita per z>0 dall’integrale

\Gamma(z)=\int_0^{+\infty} t^{z-1}\mathrm e^{-t}\,\mathrm dt, \tag{15.1}

e si estende a tutti i z reali non interi \le 0 richiedendo che continui a valere la proprietà 15.2 qui sotto.

L’integrale 15.1 converge: in t=0 perché t^{z-1} è integrabile per z>0, all’infinito perché \mathrm e^{-t} schiaccia qualunque potenza. Servono solo tre proprietà.

• Ricorrenza. Integrando per parti 15.1 si ottiene

  \Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z). \tag{15.2}

• Interpolazione del fattoriale. Poiché \Gamma(1)=\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-t}\,\mathrm dt=1, applicando ripetutamente 15.2 si ricava

  \Gamma(n+1)=n!\qquad\text{per ogni intero } n\ge0 .

  La Gamma è dunque il fattoriale esteso agli argomenti non interi: è esattamente ciò che serve quando \alpha e \beta sono reali.

• Un valore non intero. Con la sostituzione t=u^2 in 15.1 si ritrova l’integrale di Gauss e quindi

  \Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\sqrt{\pi},

  valore che compare nelle formule dei Chebyshev.

La 15.2, letta da destra a sinistra come \Gamma(z)=\Gamma(z+1)/z, definisce \Gamma per z<0 non intero e mostra che la funzione ha un polo in z=0,-1,-2,\ldots, dove il denominatore si annulla. Non ci sono invece zeri: 1/\Gamma è ovunque finita. Per approfondire si veda [2] oppure [1].

La norma dei polinomi di Jacobi

Con questa notazione la norma, nella convenzione scelta sopra, è

h_n^{(\alpha,\beta)}= \|P_n^{(\alpha,\beta)}\|_{w_{\alpha,\beta}}^2= \frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1} \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)} {n!\,\Gamma(n+\alpha+\beta+1)}. \tag{15.3}

Gli argomenti n+\alpha+1 e n+\beta+1 sono positivi perché \alpha,\beta>-1, quindi le due Gamma al numeratore sono ben definite. L’unico caso delicato è n=0 con \alpha+\beta+1\le0: allora il fattore 1/(2n+\alpha+\beta+1) e il fattore 1/\Gamma(\alpha+\beta+1) sono uno infinito e l’altro nullo, e la 15.2 scioglie l’indeterminazione raggruppandoli,

(\alpha+\beta+1)\,\Gamma(\alpha+\beta+1)=\Gamma(\alpha+\beta+2).

Per i Chebyshev di prima specie (\alpha=\beta=-\tfrac12) si ottiene così

h_0^{(-1/2,-1/2)} =\frac{2^{0}\,\Gamma(1/2)^2}{\Gamma(1)}=\pi,

in accordo con il calcolo diretto \int_{-1}^{1}(1-x^2)^{-1/2}\,\mathrm dx=\pi.

15.2 Le famiglie classiche come casi particolari

La tabella dei casi speciali

I casi simmetrici hanno \alpha=\beta e peso pari. I Chebyshev vengono spesso definiti con normalizzazioni diverse da quella dei Jacobi: la tabella esplicita sia il peso, dato a meno di una costante moltiplicativa, sia il fattore di scala.

Famiglia	Parametri Jacobi	Peso	Relazione
Legendre P_n	\alpha=\beta=0	1	P_n^{(0,0)}=P_n
Gegenbauer C_n^{(\lambda)}	\alpha=\beta=\lambda-\tfrac12, \lambda>-\tfrac12	(1-x^2)^{\lambda-1/2}	C_n^{(\lambda)}=\dfrac{(2\lambda)_n}{(\lambda+1/2)_n}P_n^{(\lambda-1/2,\lambda-1/2)}
Chebyshev I T_n	\alpha=\beta=-\tfrac12	(1-x^2)^{-1/2}	T_n=\dfrac{n!}{(1/2)_n}P_n^{(-1/2,-1/2)}
Chebyshev II U_n	\alpha=\beta=\tfrac12	(1-x^2)^{1/2}	U_n=\dfrac{(n+1)!}{(3/2)_n}P_n^{(1/2,1/2)}

Qui (a)_n=a(a+1)\cdots(a+n-1) è il simbolo di Pochhammer.

Chebyshev: coseni travestiti da polinomi

Il caso \alpha=\beta=-\tfrac12 merita una nota a parte. Con la sostituzione x=\cos\theta si verifica che

T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta), \tag{15.4}

cioè i Chebyshev³ sono coseni travestiti da polinomi. Da 15.4 seguono senza conti tre fatti.

• La limitazione uniforme

  |T_n(x)|\le1 \qquad \text{per ogni } x\in[-1,1],

  immediata perché il coseno non esce da [-1,1].

• Gli zeri, che si leggono dagli zeri del coseno:

  x_j=\cos\frac{(2j-1)\pi}{2n},\qquad j=1,2,\ldots,n .

  Sono i nodi di Chebyshev già incontrati in Capitolo 9.

• La possibilità di passare da valori nodali a coefficienti con una trasformata coseno veloce, in O(n\log n) anziché gli O(n^2) di una quadratura generica.

È soprattutto per l’ultimo che, nella pratica numerica, Chebyshev è spesso preferito a Legendre a parità di qualità dell’approssimazione.

La proprietà di minimo dei polinomi di Chebyshev

C’è un secondo motivo, indipendente dall’ortogonalità, per cui i Chebyshev compaiono ovunque: fra tutti i polinomi monici di un dato grado sono quelli che oscillano il meno possibile. Prima di enunciare il risultato conviene fissare due parole.

• Un polinomio di grado n è monico se il coefficiente di x^n vale 1, cioè se si scrive

  p(x)=x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0 .

• Per una funzione continua f su [-1,1] la norma uniforme è

  \|f\|_\infty=\max_{-1\le x\le 1}|f(x)| ,

  cioè la massima ampiezza raggiunta sull’intervallo.

Il vincolo «monico» non è un dettaglio tecnico: senza di esso la domanda non avrebbe senso, perché il polinomio p\equiv0 darebbe \|p\|_\infty=0 e vincerebbe sempre. Fissare a 1 il coefficiente di x^n impedisce di abbassare l’ampiezza semplicemente moltiplicando tutto per una costante piccola: la gara si svolge fra polinomi della stessa taglia.

Un esempio concreto con n=3 chiarisce la posta in gioco. Il monico più ovvio è q(x)=x^3, che su [-1,1] arriva fino a \|q\|_\infty=1. Il monico di Chebyshev è invece

\widetilde T_3(x)=\tfrac14T_3(x)=\tfrac14(4x^3-3x)=x^3-\tfrac34x,

e la sottrazione del termine \tfrac34x abbassa il massimo a \|\widetilde T_3\|_\infty=\tfrac14: quattro volte meno, a parità di termine di testa. Il teorema dice che meglio di così non si può fare.

Teorema 15.1 (Minimo della norma uniforme fra i polinomi monici) Sia n\ge1 e sia

\widetilde T_n(x)=2^{1-n}\,T_n(x) \tag{15.5}

il polinomio di Chebyshev monico di grado n. Allora

\|\widetilde T_n\|_\infty=2^{1-n},

e per ogni polinomio monico q di grado n vale

\|q\|_\infty\ \ge\ 2^{1-n},

con uguaglianza se e solo se q=\widetilde T_n.

Dimostrazione. La dimostrazione si articola in cinque passi: i primi due verificano che \widetilde T_n ha davvero le proprietà annunciate, gli ultimi tre mostrano che nessun altro monico fa meglio. Poniamo per brevità

M=2^{1-n}.

Passo 1: \widetilde T_n è monico. Occorre sapere che il coefficiente di x^n in T_n vale 2^{n-1} per n\ge1. Lo si ottiene dalla formula di addizione del coseno

\cos\big((n+1)\theta\big)+\cos\big((n-1)\theta\big) =2\cos\theta\,\cos(n\theta),

che, posto x=\cos\theta e usando 15.4, diventa la ricorrenza a tre termini

T_{n+1}(x)=2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x), \qquad T_0(x)=1,\quad T_1(x)=x. \tag{15.6}

Indichiamo con a_n il coefficiente di x^n in T_n. Il prodotto 2x\,T_n alza il grado di uno e raddoppia il coefficiente di testa, mentre T_{n-1} ha grado n-1 e non contribuisce al termine di grado n+1: dunque a_{n+1}=2a_n. Siccome a_1=1, per induzione

a_n=2^{n-1},\qquad n\ge1 .

Moltiplicando T_n per 2^{1-n}, come in 15.5, il coefficiente di testa diventa 2^{1-n}\cdot2^{n-1}=1: \widetilde T_n è monico, come richiesto.

Passo 2: \widetilde T_n oscilla fra -M e +M toccando gli estremi n+1 volte. Da |T_n(x)|\le1 su [-1,1] segue subito

|\widetilde T_n(x)|\le M\qquad\text{per ogni }x\in[-1,1].

Consideriamo ora gli n+1 punti

y_j=\cos\frac{j\pi}{n},\qquad j=0,1,\ldots,n . \tag{15.7}

Poiché il coseno è strettamente decrescente su [0,\pi] e gli angoli j\pi/n crescono, i punti sono ordinati in senso stretto:

1=y_0>y_1>\cdots>y_n=-1 .

Per 15.4 si ha T_n(y_j)=\cos(j\pi)=(-1)^j, e quindi

\widetilde T_n(y_j)=(-1)^j\,M,\qquad j=0,1,\ldots,n . \tag{15.8}

Il valore massimo M viene dunque raggiunto in n+1 punti, con segni alternati: è il fenomeno di equioscillazione illustrato in Figura 15.1. In particolare \|\widetilde T_n\|_\infty=M, che è la prima affermazione del teorema.

Passo 3: la differenza con un concorrente. Sia ora q un polinomio monico di grado n che soddisfa

\|q\|_\infty\le M, \tag{15.9}

e poniamo

d=\widetilde T_n-q .

Di d ci servono due proprietà.

Il grado cala. Entrambi i polinomi sono monici di grado n, quindi i loro termini x^n si cancellano nella differenza:

\deg d\le n-1 .

I segni si alternano. Moltiplichiamo d(y_j) per (-1)^j e procediamo un passaggio alla volta:

\begin{aligned} (-1)^j\,d(y_j) &=(-1)^j\,\widetilde T_n(y_j)-(-1)^j\,q(y_j) && \text{definizione di } d, \\[2pt] &=M-(-1)^j\,q(y_j) && \text{perché } \widetilde T_n(y_j)=(-1)^j M, \\[2pt] &\ge M-\bigl|q(y_j)\bigr| && \text{perché } (-1)^j\,q(y_j)\le\bigl|q(y_j)\bigr|, \\[2pt] &\ge 0 && \text{perché } \|q\|_\infty\le M. \end{aligned} \tag{15.10}

La seconda riga usa l’equioscillazione 15.8, l’ultima l’ipotesi 15.9. A parole: d(y_0)\ge0, d(y_1)\le0, d(y_2)\ge0, e così via, alternando.

Passo 4: d ha almeno n zeri, contati con molteplicità. Consideriamo gli n intervallini [y_{j+1},y_j] con j=0,1,\ldots,n-1 determinati dai punti 15.7.

(a) In ciascun intervallino c’è almeno uno zero. Per 15.10 i valori d(y_j) e d(y_{j+1}) hanno segni opposti in senso debole. Se uno dei due è nullo, lo zero è l’estremo stesso. Altrimenti i segni sono strettamente opposti e, essendo d continua, il teorema degli zeri fornisce uno zero interno all’intervallino.

(b) Uno zero che cade in un punto interno y_j (cioè con 0<j<n) è almeno doppio. Supponiamo d(y_j)=0, ossia q(y_j)=(-1)^jM. Allora la funzione q^2, che è derivabile, soddisfa q^2\le M^2 su tutto [-1,1] e raggiunge il valore M^2 nel punto y_j, che è interno all’intervallo: per il teorema di Fermat la sua derivata vi si annulla,

(q^2)'(y_j)=2\,q(y_j)\,q'(y_j)=0,

e poiché q(y_j)=\pm M\ne0 resta q'(y_j)=0. Lo stesso argomento applicato a \widetilde T_n, che per 15.8 tocca anch’esso il massimo in y_j, dà \widetilde T_n'(y_j)=0. Sottraendo, d'(y_j)=0: in y_j si annullano sia d sia d', cioè y_j è uno zero di molteplicità almeno due.

(c) Il conteggio. Assegniamo a ciascuno degli n intervallini uno zero in esso contenuto, che esiste per il punto (a). Uno stesso zero può essere assegnato a due intervallini soltanto se è un loro estremo comune, cioè un punto y_j con 0<j<n; ma per il punto (b) un tale zero ha molteplicità almeno due. Sommando le molteplicità degli zeri distinti così trovati si ottiene dunque almeno n.

Passo 5: conclusione. Un polinomio non identicamente nullo di grado \le n-1 ha al più n-1 zeri contati con molteplicità. Il Passo 4 ne esibisce almeno n, e l’unica via d’uscita è

d\equiv0,\qquad\text{cioè}\qquad q=\widetilde T_n .

Abbiamo quindi dimostrato che l’unico monico di grado n che soddisfa 15.9 è \widetilde T_n. Da qui seguono entrambe le affermazioni rimaste:

• nessun monico q può avere \|q\|_\infty<M, perché soddisfarebbe a maggior ragione 15.9 e sarebbe allora \widetilde T_n, la cui norma vale però esattamente M;
• se \|q\|_\infty=M allora 15.9 vale e quindi q=\widetilde T_n: il minimo è raggiunto da un solo polinomio.

NotaPerché proprio l’equioscillazione

L’idea geometrica dietro il Passo 4 è questa: un polinomio monico che battesse \widetilde T_n dovrebbe restare, in valore assoluto, sotto la quota M su tutto l’intervallo. Ma \widetilde T_n tocca alternativamente +M e -M in n+1 punti, e quindi la differenza fra i due polinomi sarebbe costretta a cambiare segno n volte. Troppi cambi di segno per un polinomio di grado n-1: l’unica possibilità è che la differenza sia nulla. È il caso più semplice del teorema di equioscillazione di Chebyshev, che caratterizza allo stesso modo la migliore approssimazione uniforme di una funzione continua.

Figura 15.1: Il polinomio di Chebyshev monico di grado 5 tocca \pm2^{-4} in sei punti alternati: nessun altro monico di grado 5 resta più basso in modulo su tutto l’intervallo.

Il teorema chiude un conto lasciato aperto in Capitolo 9. Il prodotto (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n) che compare nell’errore di interpolazione è monico di grado n+1: i nodi che ne minimizzano il massimo modulo sono dunque gli zeri di T_{n+1}, cioè esattamente i nodi di Chebyshev. Là la proprietà era stata enunciata senza dimostrazione.

Laguerre e Hermite: domini illimitati

La tabella copre solo l’intervallo [-1,1]. Su domini illimitati le famiglie classiche sono altre due: Laguerre L_n^{(\alpha)}, con peso x^\alpha e^{-x} su [0,+\infty), e Hermite H_n (o He_n nella variante probabilistica), con peso e^{-x^2}, rispettivamente e^{-x^2/2}, su tutto \mathbb R. Tutto ciò che segue nel capitolo — ricorrenza a tre termini, zeri reali e semplici, quadratura gaussiana — vale per loro senza modifiche: cambia solo il peso. Gli Hermite ritornano in Capitolo 19. Per \lambda=0 la famiglia di Gegenbauer⁴ è degenere: per n\ge1 il limite non normalizzato è

\lim_{\lambda\to0}\frac{C_n^{(\lambda)}(x)}{\lambda}=\frac{2\,T_n(x)}{n},

mentre la famiglia normalizzata C_n^{(\lambda)}/C_n^{(\lambda)}(1) converge a T_n.

15.3 Il peso decide dove si concentra l’errore

Se \alpha>0, il peso smorza il contributo vicino a x=1; se -1<\alpha<0, lo enfatizza. Il parametro \beta agisce analogamente in x=-1. La Figura 15.2 mostra i pesi classici senza normalizzazione; il grafico R seguente li normalizza ad area unitaria, così le forme si confrontano senza che la scala verticale domini la lettura.

Figura 15.2: Forme dei pesi classici di Jacobi per parametri simmetrici e asimmetrici; le curve TikZ mostrano i pesi senza normalizzazione ad area unitaria.

Possiamo verificare quanto siano diversi i prodotti scalari con un’integrazione numerica che evita di valutare il peso esattamente agli estremi singolari.

x <- seq(-0.999, 0.999, length.out=1500)
pars <- list(c(0,0), c(0.5,0.5), c(-0.5,-0.5), c(1.5,-0.4))
cols <- c(2,4,3,6)
labs <- c("Legendre (0,0)", "(0.5,0.5)", "(-0.5,-0.5)", "(1.5,-0.4)")
plot(NA, xlim=c(-1,1), ylim=c(0,5), xlab="x", ylab="peso normalizzato",
     main="Pesi di Jacobi")
for (j in seq_along(pars)) {
  a <- pars[[j]][1]; b <- pars[[j]][2]
  w <- (1-x)^a*(1+x)^b
  w <- w / sum(w)*(length(x)-1)/2
  lines(x, w, col=cols[j], lwd=2)
}
legend("top", legend=labs, col=cols, lwd=2, cex=0.8, bty="n", ncol=2)

Figura 15.3: Pesi di Jacobi normalizzati ad area unitaria in R: la scelta dei parametri cambia l’importanza relativa degli estremi.

15.4 La ricorrenza dei polinomi di Jacobi

I coefficienti in forma compatta

La normalizzazione standard parte da

P_0^{(\alpha,\beta)}(x)=1, \qquad P_1^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{1}{2} \big[(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta+2)\,x\big].

Scritta per esteso, la ricorrenza che lega tre gradi consecutivi è ingombrante: i coefficienti sono prodotti di tre o quattro fattori in n,\alpha,\beta. Diventa però leggibile non appena si dà un nome alla quantità che vi ricorre ovunque,

\sigma_n=2n+\alpha+\beta , \tag{15.11}

e ai quattro coefficienti

\begin{aligned} A_n&=2(n+1)(n+\alpha+\beta+1)\,\sigma_n, &\qquad B_n&=(\sigma_n+1)(\alpha^2-\beta^2),\\[4pt] C_n&=\sigma_n(\sigma_n+1)(\sigma_n+2), &\qquad D_n&=2(n+\alpha)(n+\beta)(\sigma_n+2). \end{aligned} \tag{15.12}

Tutti e quattro dipendono anche da \alpha e \beta attraverso 15.11; l’indice n è lasciato solo per non appesantire la notazione. Con questi simboli, per n\ge1, la ricorrenza si scrive su una riga:

A_n\,P_{n+1}^{(\alpha,\beta)}(x) =\big(B_n+C_n\,x\big)\,P_n^{(\alpha,\beta)}(x) -D_n\,P_{n-1}^{(\alpha,\beta)}(x). \tag{15.13}

La divisione per A_n è sempre lecita. Infatti \alpha,\beta>-1 implica \alpha+\beta>-2 e quindi, per n\ge1,

\sigma_n=2n+\alpha+\beta>2n-2\ge0, \qquad n+\alpha+\beta+1>n-1\ge0,

cosicché A_n>0: la ricorrenza non degenera mai, per nessuna scelta ammissibile dei parametri.

Due casi particolari

Due letture di 15.13 meritano attenzione.

• Peso simmetrico. Se \alpha=\beta allora B_n=0, perché \alpha^2-\beta^2=0: il termine costante sparisce e resta A_nP_{n+1}=C_n\,x\,P_n-D_nP_{n-1}. È la forma che genera polinomi alternativamente pari e dispari, cioè la parità che ci si aspetta da un peso simmetrico.

• Caso di Legendre. Con \alpha=\beta=0 si ha \sigma_n=2n e

  \begin{aligned} A_n&=2(n+1)^2(2n)=4n(n+1)^2,\\[2pt] B_n&=0,\\[2pt] C_n&=2n(2n+1)(2n+2)=4n(n+1)(2n+1),\\[2pt] D_n&=2n\cdot n\cdot(2n+2)=4n^2(n+1). \end{aligned}

  Dividendo 15.13 per il fattore comune 4n(n+1) resta

  (n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)\,x\,P_n(x)-n\,P_{n-1}(x),

  cioè esattamente la ricorrenza dei polinomi di Legendre 14.7.

15.5 Perché l’ortogonalità forza tre termini

La ricorrenza a tre termini non è un’esclusiva dei Jacobi. Sia p_n una famiglia ortogonale con coefficienti principali \kappa_n>0. Il polinomio xp_n ha grado n+1, dunque si espande nella base p_0,\ldots,p_{n+1}. Per k\le n-2, \langle xp_n,p_k\rangle_w=\langle p_n,xp_k\rangle_w=0, perché xp_k ha grado al massimo n-1. Restano solo i termini p_{n+1},p_n,p_{n-1}: xp_n=a_{n+1}p_{n+1}+b_np_n+c_np_{n-1}. Confrontando coefficienti principali si trova a_{n+1}=\kappa_n/\kappa_{n+1}. Inoltre, per la simmetria del prodotto scalare, c_n=\frac{a_n\|p_n\|_w^2}{\|p_{n-1}\|_w^2}>0. I simboli minuscoli a_n,b_n,c_n sono volutamente distinti dalle maiuscole di 15.12: i primi valgono per una famiglia ortogonale qualunque, i secondi solo per i Jacobi nella normalizzazione P_n^{(\alpha,\beta)}(1)={n+\alpha\choose n}.

Abbiamo dunque dimostrato che ogni famiglia ortogonale, per qualunque peso positivo, soddisfa una ricorrenza a tre termini: non è una proprietà dei polinomi di Jacobi, è una conseguenza dell’ortogonalità. Il viceversa — da una ricorrenza di questa forma risalire a un peso rispetto al quale la famiglia è ortogonale — è il teorema di Favard, enunciato in Capitolo 16; i due risultati vanno tenuti distinti.

Le formule esplicite dei coefficienti dipendono dunque dalla scala scelta: cambiando normalizzazione cambiano A_n,\ldots,D_n, non la struttura a tre termini.

In sintesi

• Il peso (1-x)^\alpha(1+x)^\beta è integrabile esattamente per \alpha,\beta>-1; ogni scelta dei due parametri dà una famiglia ortogonale diversa.
• Legendre, Gegenbauer e Chebyshev I/II sono casi particolari di Jacobi: cambia solo la normalizzazione, non lo spazio generato.
• \alpha e \beta decidono dove l’errore di approssimazione viene pesato: esponenti negativi enfatizzano gli estremi, positivi li smorzano.
• L’ortogonalità, da sola, impone una ricorrenza a tre termini. Il viceversa è il teorema di Favard.

15.6 Esercizi

1. Per quali valori di \alpha,\beta il peso di Jacobi è integrabile?
2. Riconoscere i pesi di Legendre e Chebyshev I/II.
3. Quando \alpha\ne\beta, quale delle simmetrie P_n(-x)=(-1)^nP_n(x) rimane valida? (In generale nessuna: vale P_n^{(\alpha,\beta)}(-x)=(-1)^nP_n^{(\beta,\alpha)}(x).)
4. Ricavare dalla ricorrenza il polinomio P_2^{(\alpha,\beta)}(x).
5. Dedurre l’ortogonalità dei polinomi T_n(x) rispetto al peso (1-x^2)^{-1/2} dalla 15.4, con la sostituzione x=\cos\theta (la ricorrenza 15.6 è già stata ricavata in questo modo nel Passo 1 di Teorema 15.1).
6. Verificare, per n=2,3,4, che \|\widetilde T_n\|_\infty=2^{1-n} confrontandolo con il monico x^n.

[1]

2025. NIST Digital Library of Mathematical Functions. Recuperato da https://dlmf.nist.gov/

[2]

Milton Abramowitz e Irene A. Stegun (A c. di). 1964. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. National Bureau of Standards, Washington, D.C. Recuperato da https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/

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1. Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851)

2. Leonhard Euler (1707-1783)

3. Pafnutij L’vovič Čebyšëv (1821-1894)

4. Leopold Gegenbauer (1849-1903)