Polinomi ortogonali

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Enrico Bertolazzi

University of Trento, Department of Industrial Engineering

Che cosa sono

In \mathbb R^3 è opportuno evitare basi costituite da vettori quasi paralleli: le coordinate di un vettore rispetto a tali basi possono assumere valori molto elevati ed essere fortemente sensibili a piccole perturbazioni dei dati. Quando possibile, si preferisce quindi una base ortogonale, rispetto alla quale ciascuna coordinata si determina mediante un prodotto scalare.

I polinomi ortogonali consentono di costruire basi polinomiali ortogonali rispetto a un opportuno prodotto scalare.

Consideriamo lo spazio \mathcal P_n dei polinomi di grado al più n. Fissando un prodotto scalare, questo spazio assume la struttura di uno spazio euclideo di dimensione n+1; ad esempio:

\langle f,g\rangle_w=\int_a^b f(x)\,g(x)\,w(x)\,\mathrm dx, \qquad w>0 .

Se si adottasse la base canonica dei monomi 1,x,x^2,\ldots, rispetto a questo prodotto scalare le funzioni x^8 e x^{10} sarebbero quasi indistinguibili: l’angolo fra loro tende a zero al crescere del grado. Questa quasi-parallelità è una delle cause del cattivo condizionamento della matrice di Vandermonde introdotta in 6  Interpolazione Polinomiale.

I polinomi ortogonali si ottengono ortogonalizzando la base dei monomi rispetto al prodotto scalare considerato. Una successione p_0(x), p_1(x), p_2(x),\ldots, con \deg p_k(x)=k, costituisce una famiglia di polinomi ortogonali se i suoi elementi sono mutuamente ortogonali rispetto a \langle\cdot,\cdot\rangle_w. Pesi diversi danno famiglie diverse — Legendre, Chebyshev, Jacobi, Hermite — perché ortogonale ha senso solo quando si specifica rispetto a quale prodotto scalare.

L’importanza di questi polinomi emerge dalle seguenti proprietà e applicazioni:

  • i coefficienti della migliore approssimazione si calcolano uno alla volta, un integrale ciascuno, senza risolvere alcun sistema lineare;
  • l’intera famiglia si genera con una ricorrenza a tre soli termini, di costo O(n) e memoria costante;
  • gli zeri di p_n sono n, reali, semplici e interni all’intervallo, e quelli di p_{n+1} li separano; (sono una successione di Sturm1)
  • utilizzati come nodi di quadratura, consentono di costruire formule gaussiane con il massimo grado di esattezza possibile a parità di numero di nodi.

Perché sono nati (nota storica)

NotaOsservazione

Date e attribuzioni di questa nota storica provengono da:

  • J.-B. Pecot, Le problème de l’ellipsoïde et l’analyse harmonique: la controverse entre Legendre et Laplace, Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, 2ª serie, 3 (1993), 113–157, per le memorie di Legendre e Laplace e per le rispettive date di lettura e di pubblicazione;
  • A. Sommariva, note del corso sulla quadratura gaussiana, Università di Padova, per la cronologia da Gauss a Golub–Welsch;
  • The life, work and legacy of P. L. Chebyshev, arXiv:2111.12551, e la raccolta di traduzioni curata da R. Pulskamp, per Chebyshev e la sua scuola;
  • Euler and the Legendre Polynomials, arXiv:2308.16318, per le anticipazioni di Eulero.

I riferimenti in bibliografia sono presi dalle fonti digitalizzate (NUMDAM, EuDML, AMS).

Due avvertenze. L’anno in cui l’aggettivo orthogonal viene applicato a questi polinomi poggia su una sola fonte, ed è quindi da prendere con cautela. Per la formula di Christoffel–Darboux le fonti danno due date diverse (1858 e 1877): per questo la formula compare senza data.

I polinomi ortogonali nascono da un problema di meccanica celeste. Nelle memorie sull’attrazione degli sferoidi omogenei presentate all’Académie des sciences — quella di Legendre2, letta nel 1783 e pubblicata nel 1785 [6], e quella di Laplace3, letta nell’agosto 1784 e stampata nel volume dell’Accademia relativo al 1782 — occorreva sviluppare l’inverso della distanza fra due punti,

\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n\ge0}P_n(x)\,t^n ,

per esprimere il potenziale gravitazionale di un pianeta non sferico. I coefficienti P_n di quello sviluppo sono i polinomi di Legendre: nati come coefficienti di una serie, non come base di uno spazio. Che fossero ortogonali fra loro era una proprietà osservata, non la definizione.

La paternità, a rigore, è più sfumata: Eulero4 aveva già incontrato sia la funzione generatrice sia la ricorrenza a tre termini in lavori del 1763 e del 1772, senza però isolare la famiglia di polinomi né darle un nome. Fra Legendre e Laplace ci fu poi una disputa di priorità, ricostruita nell’articolo di Pecot citato sopra.

Trent’anni dopo nel 1814 Gauss5, in Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi [2], si chiede fin dove si possa spingere l’accuratezza di una formula di quadratura scegliendo bene non solo i pesi ma anche i nodi, e trova — per via di frazioni continue — che n nodi ben scelti integrano esattamente i polinomi fino al grado 2n-1.

Jacobi6 nel 1826 in Ueber Gauss’ neue Methode, die Werthe der Integrale näherungsweise zu finden [5] rifà la dimostrazione con un argomento di divisibilità fra polinomi e mette al centro l’ortogonalità. I nodi ottimali di Gauss per la formula di quadratura (vedi 18  Quadrature di Gauss e zeri dei polinomi ) sono gli zeri del polinomio di Legendre di grado n.

Una volta introdotti i polinomi ortogonali seguono le generalizzazioni.

  • Chebyshev7, a partire dalla memoria Sur les fractions continues — presentata in russo nel 1855 e pubblicata in francese nel 1858, nella traduzione di Bienaymé8 [11] — costruisce la teoria per un peso qualunque anziché per famiglie particolari;

  • Charles Hermite9 (1864), Edmond Laguerre10

    1. e Leopold Gegenbauer11 (1884) introducono le famiglie di polinomi ortogonali che portano il loro nome.

  • Christoffel12 nel 1877 dimostra che gli zeri dei polinomi ortogonali sono sempre reali, semplici e interni all’intervallo (a,b) su cui è definito il prodotto scalare, qualunque esso sia e qualunque sia il peso.

  • Stieltjes13, con le Recherches sur les fractions continues, a partire dal 1894 [8], collega tutto al problema dei momenti.

  • Erhard Schmidt14 applica a questi polinomi l’aggettivo orthogonal, pare attorno al 1905;

  • l’espressione orthogonal polynomials diventa definitiva con Szegő15 attorno al 1918, e la sua monografia del 1939 resta il riferimento classico.

  • Nel 1969 Gene H. Golub16 e John H. Welsch17 [4] osservano che nodi e pesi di una formula gaussiana sono autovalori e prime componenti degli autovettori di una matrice tridiagonale simmetrica, trasformando una ricerca di radici in un problema (più semplice) di algebra lineare.

Il capitolo presuppone nota

vengono date risposte a domande rimaste in sospeso nei capitoli precedenti:

L’ortogonalità rispetto a un peso produce contemporaneamente una ricorrenza a tre termini stabile, zeri reali e separati, la migliore approssimazione in norma pesata e una formula di quadratura di esattezza massima (16  Ricorrenze, zeri e stabilità).

Le note sono organizzate come segue

  1. Legendre
  2. Jacobi
  3. proprietà strutturali
  4. minimi quadrati
  5. quadratura di Gauss
  6. altre applicazioni.

  1. Jacques Charles François Sturm (1803-1855)↩︎

  2. Adrien-Marie Legendre (1752-1833)↩︎

  3. Pierre-Simon Laplace (1749-1827)↩︎

  4. Leonhard Euler (1707-1783)↩︎

  5. Carl Friedrich Gauss (1777-1855)↩︎

  6. Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851)↩︎

  7. Pafnutij L’vovič Čebyšëv (1821-1894)↩︎

  8. Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878)↩︎

  9. Charles Hermite (1822-1901)↩︎

  10. Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886)↩︎

  11. Leopold Gegenbauer (1849-1903)↩︎

  12. Elwin Bruno Christoffel (1829-1900)↩︎

  13. Thomas Joannes Stieltjes (1856-1894)↩︎

  14. Erhard Schmidt (1876-1959)↩︎

  15. Gábor Szegő (1895-1985)↩︎

  16. Gene Howard Golub (1932-2007)↩︎

  17. John H. Welsch↩︎