27 Equazioni Differenziali Ordinarie
Un’equazione differenziale ordinaria (ODE) è un’equazione che coinvolge una o più funzioni di una sola variabile indipendente e le loro derivate. Il termine ordinaria distingue queste equazioni dalle equazioni differenziali alle derivate parziali, che dipendono da più variabili indipendenti.
Le ODE sono strumenti matematici ampiamente utilizzati per modellare e analizzare sistemi dinamici in diversi ambiti, tra cui la fisica, l’economia, la biologia e le scienze sociali. Studiosi come Newton1, Euler, Leibniz, i Bernoulli, Riccati, Clairaut e d’Alembert hanno contribuito allo sviluppo e all’applicazione di queste equazioni.
Un esempio noto di ODE è la seconda legge del moto di Newton:
\mathcal{F}(y(t)) = m y^{\prime\prime}(t)
dove \mathcal{F} rappresenta una forza applicata come funzione della posizione y(t) e m è la massa. Questa equazione descrive come l’accelerazione di un oggetto sia legata alla forza applicata, un principio fondamentale della meccanica classica.
27.1 Introduzione ai Problemi a Valore Iniziale
Prima di esaminare i metodi numerici di soluzione, è utile richiamare alcune definizioni e proprietà delle equazioni differenziali ordinarie (ODE) e dei problemi a valore iniziale (IVP).
Equazione Differenziale Ordinaria
Un’equazione differenziale ordinaria (ODE) è un’equazione che coinvolge una funzione y(t) definita su un intervallo I \subset \mathbb{R} e a valori reali, complessi oppure nello spazio vettoriale \mathbb{R}^d o \mathbb{C}^d. La forma generale di un’ODE è:
F\left(t, y(t), y'(t), y''(t), \dots, y^{(n)}(t)\right) = 0
L’ordine dell’equazione differenziale è determinato dalla derivata di ordine più alto y^{(n)}(t) presente.
Se y(t) assume valori in uno spazio di dimensione d > 1, si parla di sistema di equazioni differenziali.
ODE esplicita
Un’equazione differenziale esplicita del primo ordine ha la forma:
y'(t) = f\left(t, y(t)\right)
Un’equazione di ordine superiore (ordine n) si dice esplicita se può essere scritta nella forma:
y^{(n)}(t) = F\left(t, y(t), y'(t), y''(t), \dots, y^{(n-1)}(t)\right)
ODE autonoma
Un’equazione differenziale della forma precedente è chiamata autonoma se il termine a destra f non dipende esplicitamente da t, il che significa:
y'(t) = f\left(y(t)\right)
Riduzione a sistemi del primo ordine
Ogni equazione differenziale di ordine superiore può essere riscritta come un sistema di equazioni del primo ordine. Se l’equazione originale è esplicita, anche il sistema risultante sarà esplicito.
Per trasformare un’equazione differenziale di ordine superiore in un sistema di equazioni del primo ordine, introduciamo variabili ausiliarie per ciascuna derivata di y(t):
y_0(t) = y(t), \quad y_1(t) = y'(t), \quad \dots, \quad y_{n-1}(t) = y^{(n-1)}(t)
In questo modo, l’equazione differenziale di ordine n si riscrive come un sistema di n equazioni del primo ordine:
\begin{Bmatrix} y'_0(t) - y_1(t) \\[0.5em] y'_1(t) - y_2(t) \\[0.5em] \vdots \\[0.5em] y'_{n-2}(t) - y_{n-1}(t) \\[0.5em] F\left(t, y_0(t), y_1(t), \dots, y_{n-1}(t), y'_{n-1}(t)\right) \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\[0.5em] 0 \\[0.5em] \vdots \\[0.5em] 0 \\[0.5em] 0 \end{Bmatrix}
Nel caso di un’equazione esplicita, questo sistema diventa:
\begin{Bmatrix} y'_0(t) \\[0.5em] y'_1(t) \\[0.5em] \vdots \\[0.5em] y'_{n-2}(t) \\[0.5em] y'_{n-1}(t) \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} y_1(t) \\[0.5em] y_2(t) \\[0.5em] \vdots \\[0.5em] y_{n-1}(t) \\[0.5em] F\left(t, y_0(t), y_1(t), \dots, y_{n-1}(t)\right) \end{Bmatrix}
Problema a Valore Iniziale (IVP)
Il problema a valore iniziale (IVP), detto anche problema di Cauchy2, associa all’ODE una condizione iniziale. Essa specifica il valore della funzione y in un punto t_0 del dominio e, sotto opportune ipotesi, permette di individuare una soluzione unica.
Data una coppia iniziale (t_0, y_0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d, consideriamo f(t, y(t)) una funzione a valori in \mathbb{R}^d, definita in un intorno I \times U \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d del punto iniziale. Il problema a valore iniziale consiste nel trovare una funzione y(t) tale che:
\begin{cases} y'(t) = f(t, y(t)) \\ y(t_0) = y_0 \end{cases}
Soluzione Locale
Una soluzione locale del problema a valore iniziale (IVP) è una funzione y(t) continuamente derivabile che soddisfa la condizione y(t_0) = y_0. È definita su un intervallo J contenente t_0, nel quale sono ben definite sia y(t) sia f(t, y(t)).
Equazione Differenziale Lineare
Un’equazione differenziale è considerata lineare se può essere espressa come una combinazione lineare delle derivate di y(t):
y^{(n)}(t) = \sum_{i=1}^{n-1} a_i(t) y^{(i)}(t) + r(t)
dove a_i(t) e r(t) sono funzioni continue di t. Se r(t) = 0, l’equazione si dice omogenea; altrimenti, si dice non omogenea.
27.2 Buona posizione dei problemi a valore iniziale
Un problema matematico si dice ben posto se soddisfa le seguenti condizioni di Hadamard3:
- Esiste una soluzione.
- La soluzione è unica.
- La soluzione dipende continuamente dai dati iniziali.
Per i problemi a valore iniziale (IVP), la terza condizione è spesso sostituita da un criterio quantitativo noto come continuità di Lipschitz4.
Condizione di Lipschitz
La funzione f(t, y) soddisfa una condizione di Lipschitz uniforme nel suo dominio D = I \times \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d rispetto a y se esiste una costante positiva L tale che:
\forall t \in I,\quad \forall x,y \in \Omega: |f(t,x)-f(t,y)| \leq L |x-y|
Se questa condizione vale per sottoinsiemi compatti di D, si parla di condizione di Lipschitz locale.
Funzione Localmente Lipschitziana
Una funzione f(x) è localmente Lipschitziana se esistono un \Delta > 0 e una costante L tali che:
|f(x)-f(x_0)| \leq L |x-x_0|,\quad |x-x_0| < \Delta
Esempio 27.1 (Esempio di funzione non Lipschitziana) La funzione
f(x) = \mathrm{sign}(x)\sqrt{|x|}
non è Lipschitziana, infatti se lo fosse allora esiste L tale che:
\begin{aligned} |\sqrt{x}-\sqrt{0}| &\leq L|x-0|,\qquad \text{for $x>0$} \\ |\sqrt{x}| &\leq L|x|=L|\sqrt{x}|\,|\sqrt{x}| \\ 1 &\leq L|\sqrt{x}|,\qquad \text{for $x>0$} \end{aligned}
ma per ogni L basta scegliere x abbastanza piccolo per violare 1\leq L|\sqrt{x}|.
27.3 Teoremi Fondamentali
Teorema di Esistenza di Peano
Il teorema di Peano6 garantisce l’esistenza di almeno una soluzione di un IVP se la funzione f(t,y) è continua in un intorno del punto iniziale (t_0,y_0).
Enunciato del Teorema
Sia f(t,y) una funzione continua definita sull’insieme chiuso:
\bar{D} = \left\lbrace (t,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^d ~|~ |t-t_0|\leq\alpha,\ |y-y_0|\leq\beta \right\rbrace
con \alpha,\beta > 0. Allora esiste almeno una soluzione y(t) continua nell’intervallo I=[t_0-T,t_0+T], dove T=\min(\alpha,\dfrac{\beta}{M}) e M=\max_{(t,y)\in D}|f(t,y)|.
Esempio 27.2 (Esempio di non unicità di Peano) la seguente ODE
\begin{cases} y' = f(x,y)=\sqrt{|y|}, & \\ y(0) = 0, & \end{cases}
ha due soluzioni
- y(t) = 0
- y(t) = \dfrac{t^2}{4} \mathrm{sign}(t)
la prima soluzione si verifica immediatamente. Per la seconda basta osservare che
\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \dfrac{t^2}{4}\mathrm{sign}(t) &= \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{cases} \dfrac{t^2}{4} & t>0 \\ -\dfrac{t^2}{4} & t\leq 0 \end{cases} \\ &= \begin{cases} \dfrac{t}{2} & t>0 \\ -\dfrac{t}{2} & t\leq 0 \end{cases} \\ &= \dfrac{|t|}{2} \end{aligned}
e
\sqrt{|y(t)|} = \sqrt{\left|\dfrac{t^2}{4} \mathrm{sign}(t)\right|} = \sqrt{\dfrac{t^2}{4}} = \dfrac{|t|}{2}
e quindi è una seconda soluzione dell’ODE.
Teorema di Picard-Lindelöf
Il teorema afferma che se f(t,y) soddisfa la condizione Lipschitz rispetto a y, allora esiste una soluzione unica locale per l’IVP.
Teorema 27.1 (Esistenza e Unicità: Picard-Lindelöf) Sia f(t, y) continua nel cilindro:
D = \{ (t, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d ~\big|~ |t - t_0| \leq a, |y - y_0| \leq b \}
Inoltre, supponiamo che f sia limitata, con una costante
M = \max_{(t, y) \in D} |f(t, y)|
e soddisfi la condizione di Lipschitz con costante L su D. Allora, il problema a valore iniziale:
\begin{cases} y'(t) = f(t, y(t)) \\ y(t_0) = y_0 \end{cases}
ha una soluzione unica nell’intervallo I = [t_0 - T, t_0 + T], dove:
T = \min \left( a, \dfrac{b}{M} \right)
Per stabilire l’unicità della soluzione è necessario utilizzare la condizione di Lipschitz insieme al Lemma di Grönwall7, che è lo strumento chiave per controllare la crescita di una funzione che soddisfa una disuguaglianza integrale.
Lemma di Grönwall
Lemma 27.1 (Disuguaglianza di Grönwall) Sia u:[t_0,T]\to[0,+\infty) continua e sia b:[t_0,T]\to[0,+\infty) integrabile. Se
u(t) \leq A + \int_{t_0}^{t} b(s)\, u(s)\, \mathrm{d}s, \qquad A \geq 0,\quad t\in[t_0,T] \tag{27.2}
allora
u(t) \leq A \exp\left( \int_{t_0}^{t} b(s)\, \mathrm{d}s \right), \qquad t\in[t_0,T] \tag{27.3}
Dimostrazione. Si definisca il membro destro della 27.2
v(t) = A + \int_{t_0}^{t} b(s)\, u(s)\, \mathrm{d}s
cosicché u(t)\leq v(t) e v è assolutamente continua con v(t_0)=A. Per quasi ogni t vale
v'(t) = b(t)\, u(t) \leq b(t)\, v(t)
dove si è usato u\leq v e b\geq 0. Posto
B(t) = \int_{t_0}^{t} b(s)\, \mathrm{d}s
si moltiplica la disequazione differenziale per il fattore integrante e^{-B(t)}>0:
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Big( e^{-B(t)} v(t) \Big) = e^{-B(t)}\Big( v'(t) - b(t)\, v(t) \Big) \leq 0
quindi t\mapsto e^{-B(t)}v(t) è non crescente e dunque
e^{-B(t)} v(t) \leq e^{-B(t_0)} v(t_0) = A \qquad\Longrightarrow\qquad v(t) \leq A\, e^{B(t)}
Essendo u(t)\leq v(t) si ottiene la 27.3. \square
Due casi particolari sono di uso continuo:
se b(s)\equiv L costante, la stima diventa
u(t) \leq A\, e^{L(t-t_0)}
se A=0, allora necessariamente u(t)\equiv 0: è questo il meccanismo che produce l’unicità.
Esiste anche una forma più generale, utile per le stime di perturbazione: se a(t) è non negativa e non decrescente e
u(t) \leq a(t) + \int_{t_0}^{t} b(s)\, u(s)\, \mathrm{d}s
allora, con lo stesso argomento,
u(t) \leq a(t) \exp\left( \int_{t_0}^{t} b(s)\, \mathrm{d}s \right)
Dimostrazione di Picard-Lindelöf
La dimostrazione è costruttiva: produce una successione di funzioni che converge alla soluzione. È sufficiente dimostrare il risultato sull’intervallo in avanti
I_{+} = [t_0,\, t_0+T]
perché la dimostrazione su [t_0-T,t_0] è identica a meno di invertire il verso del tempo, e l’unicità permette di raccordare le due soluzioni.
Dimostrazione. iterate di Picard
Il punto di partenza è l’osservazione che l’IVP è equivalente all’equazione integrale
y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\big(s, y(s)\big)\, \mathrm{d}s \tag{27.4}
Si parte dalla funzione costante y^{(0)}(t) = y_0 e si definiscono ricorsivamente le iterate di Picard8
y^{(n+1)}(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\big(s, y^{(n)}(s)\big)\, \mathrm{d}s \tag{27.5}
1. Ogni iterata resta nel cilindro. Se \|y^{(n)}(t)-y_0\|\leq b per t\in I_{+}, allora
\big\| y^{(n+1)}(t) - y_0 \big\| \leq \int_{t_0}^{t} \big\| f(s, y^{(n)}(s)) \big\|\, \mathrm{d}s \leq M\,|t-t_0| \leq M\,T \leq b
per la definizione T=\min(a,b/M). Poiché y^{(0)} soddisfa la condizione, per induzione tutte le iterate sono ben definite su I_{+} e restano in D.
2. La successione è uniformemente di Cauchy. La prima differenza soddisfa
\big\| y^{(1)}(t) - y^{(0)}(t) \big\| \leq M\,|t-t_0|
e, usando la condizione di Lipschitz, per induzione si ottiene
\big\| y^{(n+1)}(t) - y^{(n)}(t) \big\| \leq M\, L^{n}\, \dfrac{|t-t_0|^{n+1}}{(n+1)!} \tag{27.6}
Infatti, supposta vera la stima al livello n-1,
\begin{aligned} \big\| y^{(n+1)}(t) - y^{(n)}(t) \big\| &\leq L \int_{t_0}^{t} \big\| y^{(n)}(s) - y^{(n-1)}(s) \big\|\, \mathrm{d}s \\ &\leq L \int_{t_0}^{t} M\, L^{n-1} \dfrac{(s-t_0)^{n}}{n!}\, \mathrm{d}s = M\, L^{n}\, \dfrac{|t-t_0|^{n+1}}{(n+1)!} \end{aligned}
Uniformemente su I_{+} vale quindi
\big\| y^{(n+1)}(t) - y^{(n)}(t) \big\| \leq M\, L^{n}\, \dfrac{T^{n+1}}{(n+1)!}
e la serie numerica
\sum_{n=0}^{\infty} M\, L^{n}\, \dfrac{T^{n+1}}{(n+1)!} = \dfrac{M}{L}\Big( e^{LT} - 1 \Big)
converge. Per il criterio di Weierstrass9 la successione y^{(n)} converge uniformemente su I_{+} ad una funzione continua y. Si noti che la presenza del fattoriale nella 27.6 garantisce la convergenza su tutto l’intervallo consentito dal vincolo MT\leq b, senza richiedere LT<1.
3. Il limite soddisfa l’equazione integrale. Dalla condizione di Lipschitz
\big\| f(t, y^{(n)}(t)) - f(t, y(t)) \big\| \leq L \big\| y^{(n)}(t) - y(t) \big\|
per cui anche gli integrandi convergono uniformemente ed è lecito passare al limite nella 27.5, ottenendo la 27.4. Poiché l’integrando è continuo, il teorema fondamentale del calcolo integrale dà
y'(t) = f(t, y(t)), \qquad y(t_0) = y_0
4. La soluzione è unica. Siano w e y due soluzioni con lo stesso dato iniziale. Sottraendo le rispettive equazioni integrali e usando la condizione di Lipschitz
\| w(t) - y(t) \| \leq L \int_{t_0}^{t} \| w(s) - y(s) \|\, \mathrm{d}s
per t\geq t_0 (per t\leq t_0 l’argomento è identico invertendo gli estremi di integrazione). Il Lemma 27.1 con A=0 e b\equiv L forza \|w(t)-y(t)\|=0, cioè w\equiv y su I. \square
Dipendenza continua dai dati iniziali
La stessa disuguaglianza di Grönwall fornisce molto più dell’unicità: dà una stima quantitativa di quanto due soluzioni possano allontanarsi se partono da dati iniziali diversi.
Siano w e y due soluzioni della stessa ODE con w(t_0)=w_0 e y(t_0)=y_0. Dalle equazioni integrali
\| w(t) - y(t) \| \leq \| w_0 - y_0 \| + L \int_{t_0}^{t} \| w(s) - y(s) \|\, \mathrm{d}s
e il Lemma 27.1 con A=\|w_0-y_0\| dà
\boxed{\; \| w(t) - y(t) \| \leq e^{L|t-t_0|}\, \| w_0 - y_0 \| \;} \tag{27.7}
Quindi la stessa ipotesi che garantisce l’unicità produce anche la dipendenza continua dai dati iniziali e dunque la buona posizione locale del problema di Cauchy, nel senso di Hadamard: esistenza, unicità e dipendenza continua.
Prolungamento delle soluzioni
Il teorema di Picard-Lindelöf è un risultato locale: garantisce esistenza e unicità solo sull’intervallo I=[t_0-T,t_0+T]. Nulla impedisce che la soluzione cessi di esistere in tempo finito.
Teorema 27.2 (Teorema di prolungamento) Sia D\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}^d aperto e sia f:D\to\mathbb{R}^d continua e localmente lipschitziana rispetto a y. Sia y:(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}^d la soluzione massimale dell’IVP. Se \beta<+\infty allora il grafico (t,y(t)) esce definitivamente da ogni compatto contenuto in D per t\uparrow\beta.
Equivalentemente: se il grafico resta in un compatto K\subset D, la soluzione può essere prolungata oltre \beta.
L’estinzione in tempo finito può quindi avvenire per due motivi: la soluzione diventa illimitata, oppure il suo grafico si avvicina al bordo del dominio. L’esempio classico del primo caso è
y' = y^2, \qquad y(0) = 1 \qquad\Longrightarrow\qquad y(t) = \dfrac{1}{1-t}
che è di classe C^\infty e localmente lipschitziana ovunque, ma esplode per t\to 1^{-}: nessuna ipotesi di regolarità locale può garantire esistenza globale.
In sintesi
- Ogni ODE di ordine n si riduce a un sistema del primo ordine: basta quindi studiare y'=f(t,y).
- Peano dà esistenza con la sola continuità di f, ma non unicità: l’esempio y'=\sqrt{|y|} lo mostra.
- Picard-Lindelöf aggiunge la condizione di Lipschitz e ottiene esistenza e unicità locali; la dimostrazione è costruttiva (iterate di Picard).
- Il lemma di Grönwall è lo strumento che trasforma una disuguaglianza integrale in una stima esponenziale: da esso discendono sia l’unicità sia la dipendenza continua \|y-w\|\leq e^{L|t-t_0|}\|y_0-w_0\|.
- Il risultato è locale: il Teorema 27.2 dice che una soluzione cessa di esistere solo uscendo da ogni compatto, come in y'=y^2.